¿Cómo puede haber algo infinito?

Pregunta de Javier, 14 años, del IES Giner de los Ríos (Motril, Granada)

La idea del infinito ronda por nuestra cabeza desde pequeños. Algo a lo que quizás haya contribuido nuestro gran amigo Buzz Lightyear con su famosa frase “Hasta el infinito…y más allá”. Es normal asociarlo con algo misterioso, difícil o incluso imposible de entender. Entonces surge la pregunta: “¿Cómo puede existir algo infinito?” Ésta es probablemente una de las cosas más interesantes y controvertidas que se le pueden preguntar a un matemático.

Para comenzar a responderla, primero necesitas saber exactamente qué significa el infinito. En matemáticas, no representa un número o algo que esté muy lejos. No. Es un concepto que asociamos con lo que podemos hacer tan grande como queramos o lo que nunca termina.

Siempre es un número mayor

Pensemos en los números naturales, los que usamos para contar. ¿Cuál es el más grande que conoces? Esta es una pregunta realmente absurda. En cuanto imaginas cualquier número, le sumas 1 y ya tienes otro más grande. Es decir, podemos pensar en números tanto como queramos: no existe el último número.

Pero ten cuidado. El infinito no es un número excesivamente grande. Si vamos a la playa y recogemos un puñado de arena, en realidad tendremos una determinada (enorme) cantidad de granos de arena. ¿Un millón? ¿Mil millones? Por muy grande que sea, será una cantidad concreta. Si agrego 10 granos a mi puñado de arena -e incluso si el resultado sigue siendo un puñado de arena- habrá 10 granos más que antes. Como decíamos con el número mayor, siempre podemos añadir otro grano para aumentar el total.

En matemáticas decimos que los números naturales son infinitos en el sentido de que siempre podemos encontrar un número mayor que cualquiera que podamos imaginar. Pero no hay ningún número como tal que sea infinito.

Líneas rectas sin principio ni fin.

Veamos un ejemplo geométrico: una línea recta, una línea que nunca cambia de dirección y se extiende indefinidamente. Pero si queremos dibujar uno, tendremos que empezar en un punto determinado del papel y terminar en otro. En realidad lo que grabamos es un segmento tan largo como necesitemos. Sin embargo, la línea continúa antes y después de nuestro papel. En ocasiones aclaramos esta idea poniendo una punta de flecha al final.

Con la llegada de los dispositivos digitales, si dibujamos una línea y la alejamos, la línea seguirá ahí, sin importar lo lejos que lleguemos. No podremos encontrar ni su principio ni su final porque, en realidad, la recta es infinita.

infinitamente pequeño

Pero la idea del infinito no es exclusiva de los grandes. Podemos encontrarlo incluso en cosas pequeñas. Todos sabemos cómo calcular la velocidad media de un teléfono móvil (es decir, un objeto en movimiento): basta con dividir la distancia recorrida por el tiempo transcurrido. Pero si quisiéramos calcular la velocidad en un momento dado, ¿cómo lo haríamos? ¿Qué distancia recorrerá el objeto? O peor… ¿cuánto tiempo ha pasado?

Para solucionar este lío, volvemos a recurrir al infinito. Imaginemos que el coche se mueve en línea recta durante 10 segundos y queremos calcular la velocidad en exactamente 2 segundos.

Lo primero que hacemos es calcular la velocidad en el intervalo de tiempo entre 2 y 3 segundos: la distancia recorrida dividida por 1 segundo. Luego partimos el intervalo a la mitad y calculamos la velocidad entre 2 y 2,5 segundos: el espacio recorrido entre medio segundo. Nuevamente volvemos a reducir el intervalo a la mitad y calculamos la velocidad entre 2 y 2,25 segundos. Etcétera. Mediante este método iterativo e infinito (infinito) obtendríamos la velocidad al cabo de dos segundos.

Este proceso es lo que conocemos como derivada y su descubrimiento (bueno, el cálculo infinitesimal) fue uno de los momentos más brillantes (y también el más controvertido) de la ciencia y las matemáticas. Con los derivados podemos calcular las tasas de variación actuales. En cierto sentido, nos da el superpoder de dividir por cero, al estilo Marvel (o DC, si eres uno de ellos). Y con las derivadas (y sus primas hermanas, las integrales) llegó el florecimiento de la ciencia de las ecuaciones diferenciales. Pero esa es otra historia…

Matemáticas sin fronteras

Todavía podemos hacernos más preguntas sobre el concepto que nos ocupa. Primero: ¿es el universo infinito? La física moderna no puede responder a eso. Sin embargo, el universo visible (aquel cuya luz nos ha llegado) tal como lo conocemos tiene límites: es vasto, pero no infinito.

¿Y es posible dividir la materia tanto como queramos? Tampoco: llega el momento en que nos topemos con partículas elementales como bosones, quarks o leptones, que hoy no pueden dividirse más.

Entonces, ¿hay infinitas cosas o no? En la realidad física no podemos encontrar entidades verdaderamente infinitas, pero las matemáticas no tienen límites (broma de mal gusto). El límite está en nuestra imaginación, y podemos pensar en líneas o planos infinitos, en números que nunca terminan o en dividir el tiempo tanto como queramos. Es decir, es la idea que nos permite razonar matemáticamente cuando nos encontramos con este tipo de situaciones.

El infinito no es misterioso… Es el lugar donde se encuentran dos líneas paralelas.

Líneas de linterna paralelas que se cruzan. foto del autor

El Museo Interactivo del Parque de las Ciencias de Andalucía y su Unidad de Cultura Científica e Innovación colaboran en la sección The Conversation Junior.