El álgebra es más que la sopa del alfabeto: es el lenguaje de los algoritmos y las relaciones

Quitaste del cubo de Rubik y ahora quieres devolverlo. ¿Qué orden de movimientos deberías hacer?

Sorpresa: puedes responder a esta pregunta con un álgebra moderna.

La mayoría de las personas que han pasado por las matemáticas en la escuela secundaria tomaron la clase llamada álgebra, tal vez incluso una serie de álgebra y álgebra II que le pidieron que resuelviera para X. La palabra “álgebra” puede causar recuerdos de ecuaciones polinomiales complejas como AKS² + BKS + C = 0 o tramas de funciones polinomiales como I = Aks2 + BK + C. C. C. C.

Puede recordar que aprenderá sobre la fórmula cuadrada para comprender las soluciones para estas ecuaciones y encontrar dónde la trama también excede X-OS.

Las ecuaciones cuadradas gráficas y sus raíces sobre una fórmula cuadrada. Jacob Rus, CC BI-SA

Ecuaciones y tramas como estas son parte del álgebra, pero no toda la historia. Lo que destruye el álgebra es la práctica de estudiar cosas, como los movimientos que puedes hacer en el cubo bordeado o la cantidad de horas que usas para decir tiempo, y la forma en que actúas de diferentes maneras. ¿Qué sucede cuando recolectas el cubo de Rubik juntos es mover o agregar números por hora?

En mi trabajo como matemático, aprendí que muchas preguntas arérgicas se reducen a clasificar los casos por su gusto.

Conjuntos y grupos

¿Cómo están las ecuaciones como AKS2 + BKS + C = 0 y sus soluciones conducen a álgebra abstracta?

La versión corta de la historia es que los matemáticos encontraron fórmulas que se parecían muy parecidas a una fórmula cuadrada para las ecuaciones polinomiales donde el hijo más alto de X era de tres o cuatro. Pero no pudieron hacerlo por cinco. Tomó las galais evaristas matemáticas y las técnicas que desarrolló, ahora llamada teoría del grupo, para convencer el argumento de que no podría haber tal fórmula para los polinomas con el mayor poder de cinco o más.

Entonces, ¿cuál es el grupo de todos modos?

Comienza con el set, que es una colección de cosas. El contenedor con fruta en mi cocina es costoso, y la colección de cosas en él son piezas de fruta. Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 también forman un conjunto. Se establece de forma independiente, no tiene demasiadas propiedades, lo son, características, pero si comenzamos a trabajar en los números 1 a 12, o fruta en un recipiente de frutas, se vuelve más interesante.

En el reloj anexo, 3 + 12 = 3. OpenStaks, CC BI-SA

Llamemos a este conjunto de números de 1 a 12 “números de reloj”. Luego podemos definir una función de número de reloj adicional usando la forma en que decimos el tiempo. Es decir, digamos “3 + 11 = 2” de la forma en que agregaremos 3 y 11. Se siente extraño, pero si lo piensas, son 2 horas durante 11 horas.

Agregar un bajo tiene algunas buenas propiedades. Satisface:

El cierre, donde agregar cosas en el conjunto le da algo más, hay un elemento que no cambia el conjunto que agregó: agregar 12 a cualquier número igualará ese mismo número, asociatividad, donde puede agregar donde quiera en el conjunto, inversos, donde puede deshacer cualquier elemento que diga un elemento y la conmutatividad, donde puede cambiar el orden de cuyo reloj se agrega sin cambiar el resultado: A + b + a.

Complacidos de todas estas propiedades de los matemáticos pueden considerar los números de reloj con la adición del grupo SATA. En resumen, el grupo es un conjunto con alguna forma de combinar elementos en capas en la parte superior. Es poco probable que la fruta en mi recipiente de frutas se ingrese fácilmente en el grupo, ¿qué plátano más manzana es? Pero podemos hacer un conjunto de números de reloj en el grupo, mostrando que agregar una clase de reloj es cómo tomar dos horas y llega a un nuevo que satisface las reglas anteriores.

Anillos y campos

Además de los grupos, otros dos tipos básicos de instalaciones algebraicas que estudiaría en la introducción de álgebra moderna son anillos y campos.

Podríamos introducir una segunda cirugía para el número de reloj: duplicación de horas, donde 2 veces 7 2, porque es de 14 horas igual que 2 horas. Usando la hora agregada y la duplicación del reloj, los números de reloj llenan los criterios de lo que los matemáticos llaman el anillo. Se debe principalmente a que el conocimiento para multiplicar y agregar reloj juntos cumple con un componente clave que define el anillo: activos de distribución, donde a (b + c) = ab + ac. Y finalmente, los campos son anillos que satisfacen aún más condiciones.

En el cruce, los matemáticos del siglo David Hilbert y Emmi Nouther, que estaban interesados ​​en comprender que los principios en la relatividad de Einstein hicieron matemáticamente, un álgebra unificada y mostraron el servicio de estudios de grupos, anillos y campos.

Todo es divertido y juegos hasta que hagas matemáticas

Grupos, anillos y campos son abstractos, pero tienen muchas aplicaciones útiles.

Por ejemplo, la simetría de las estructuras moleculares clasifica diferentes puntos del grupo. El grupo de puntos describe formas de mover las moléculas en el espacio para mover átomos individuales, el resultado final no es diferente de las moléculas que comenzó.

La molécula de agua puede ser horizontalmente y el resultado final no es diferente de la posición original. Courtney Gibbons, CC BI-SA

Pero hagamos un ejemplo diferente que use anillos en lugar de grupos. Puede establecer un conjunto de ecuaciones bastante complicado para describir el rompecabezas de Sudoku: necesita 81 variables, puede poner el número en la red, expresiones polinomiales que explican las pistas que tienen en cuenta las trazas que han tenido en cuenta.

Para descargar espacios en el tablero de juego y 81 variables que está maravillosamente, puede usar dos suscripciones para conectar la variable a una gráfica en el tablero, como usar K₃₅ para representar una celda en la tercera fila y la quinta columna.

La primera entrada debe ser uno de los números de 1 a 9. Este término es igual a cero si y solo si siguió las reglas del juego. La Junta sigue esta regla, eso ya es 81 ecuaciones solo para decir: “No conecte nada más que del 1 al 9”.

La regla “1 a 9 aparece exactamente una vez en la fila superior” se puede capturar con algunas piezas astutas de pensamiento algebraial. La suma del orden superior se sumará a 45, lo que quiere decir que K₁₁ + K₁₂ + ⋅gerher + K₁₉ – 45 será cero, y el producto del orden superior será un producto de 1 a 9, lo que quiere decir que es que es cero.

Si cree que lleva más tiempo establecer todas estas reglas que resolviendo el rompecabezas, no se confunda.

La conversión de Sudoku en álgebra requiere un trabajo bonito. Courtney Gibbons

¿Qué vamos a obtener con esta complicada traducción en álgebra? Bueno, usamos algoritmos a finales de 20. El siglo para comprender qué números puede conectarse con el comité que satisfaga todas las reglas y todas las pistas. Estos algoritmos se basan en describir la estructura del anillo especial, llamado idealmente, estos trazas de juegos se componen en un anillo más grande. Los algoritmos le dirán si el rompecabezas no tiene soluciones. Si hay más soluciones, los algoritmos las encontrarán todos.

Este es un pequeño ejemplo en el que colocar álgebra es más difícil que simplemente hacer el rompecabezas. Pero las técnicas son ampliamente generalizadas. Álgebra Puede lidiar con problemas en inteligencia artificial, robótica, criptografía, computación cuántica y mucho más, todo con la misma bolsa de trucos que usaría para resolver los rompecabezas de Sudoku o el cubo Rubikov.