“Queridos estudiantes, hoy no resolverán problemas de matemáticas. Los crearán”. ¿Te imaginas una clase empezando así? Bueno, ya está sucediendo en algunas clases de primaria.
La resolución de problemas matemáticos es de fundamental importancia en la educación matemática y es recomendable comenzar desde una edad temprana, desde la infancia. Pero también ayuda descubrir sus propios problemas (lo que en la investigación se conoce como “formulación de problemas” o “búsqueda de problemas”). Además, a menudo proporciona una comprensión más profunda y completa que la simple aplicación de reglas matemáticas, porque nos obliga a pensar en esta ciencia de forma creativa.
¿A qué contribuye formular los propios problemas?
La formulación del problema apareció en las últimas reformas educativas en los currículos de distintos países, entre ellos España. En particular, la ley de educación española especifica que los alumnos de primaria deben ser capaces de “comprender los problemas de la vida cotidiana mediante la reformulación de preguntas, de forma verbal y gráfica”.
Crear problemas ayuda a comprender conceptos abstractos porque permite traducir ideas complejas, teóricas o invisibles en escenarios concretos, prácticos y lógicos, haciéndolos más fáciles de manipular mentalmente. Este proceso fomenta el pensamiento crítico, la identificación de patrones y la creatividad al aplicar conocimientos teóricos (como álgebra o lógica) a situaciones nuevas.
Hacer realidad los problemas
Imaginemos que un alumno tiene que calcular el área de dos terrenos rectangulares diferentes, pero que comparten el mismo perímetro (por ejemplo, tienen 20 metros de valla). Resolver esto es un ejercicio de rutina simple de multiplicar los lados.
Sin embargo, si le pedimos que asuma el papel de un diseñador y averigüe qué dimensiones lograrían el área máxima usando esa misma cantidad de cerca, la tarea se transforma por completo.
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Para construir este nuevo reclamo, el alumno primero debe investigar los patrones (trama de 1×9, otra de 2×8, otra de 3×7…), descubriendo que el área cambia drásticamente, a pesar de que la longitud de la valla es la misma.
Al intentar encontrar una regla general que defina cualquier terreno con estas características, el estudiante naturalmente “choca” con un concepto abstracto superior: la función cuadrática (parábola).
De esta forma, la abstracción matemática no se impone desde la pizarra, sino que aparece como una herramienta necesaria para la resolución del problema de optimización que el propio alumno ayudó a construir. Un resumen de este desarrollo se presenta en la siguiente figura.
Un ejemplo ilustrativo del potencial de la formulación de problemas. Creación propia apoyada en Google Gemini Pro, CC BI-ND Transfers en tres dimensiones
Aprender números enteros y sus operaciones implica el uso de símbolos y el dominio de reglas operativas. Puede facilitarse utilizando tres dimensiones del conocimiento numérico: abstracto, numérico y contextual.
Dimensión abstracta: El uso de números y operaciones a través de sus símbolos matemáticos abstractos. Entonces 1-3 = 1+(-3) = -2, obtenido sumando el opuesto de 3 a 1.
Dimensión Real: Representa números y operaciones en línea recta.
Dimensión contextual: Uso de números y operaciones en situaciones concretas (temperaturas, deudas…). En este caso 1-3 = -2 puede corresponder a la expresión “Tenía 1 euro y perdí 3, ahora debo 2 euros”.
Transfiera dimensiones en números enteros. CC BI-NC-ND
Los problemas matemáticos funcionan en una dimensión contextual, porque sirven para conectar reglas y operaciones con el mundo real.
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Capacidad de formulación del estudiante.
Nuestras últimas investigaciones se centran en cómo la formulación de problemas puede contribuir a comprender cómo conectar las tres dimensiones del conocimiento numérico, promoviendo el aprendizaje de los números enteros.
Analizando los problemas formulados por 266 alumnos de 6º de primaria y 1º de secundaria en España, pudimos comprobar que los alumnos no son capaces de imaginar una gran variedad de situaciones y que no hay diferencia entre un curso y otro.
¿Cómo introducir y mejorar esta habilidad?
La capacidad de crear problemas no se desarrolla espontáneamente y requiere instrucción especial. Al formular problemas, los estudiantes pasan de ser meros consumidores de matemáticas a “arquitectos de la actividad matemática”.
De esta manera, lo que importa no es la respuesta a los problemas, sino las preguntas matemáticas que se pueden plantear. Una técnica común para trabajar en la formulación de problemas se llama “¿Qué pasaría si…”?
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Un ejemplo podría ser la clásica regla de tres problemas, que, tradicionalmente, nos pueden haber enseñado a resolver con el producto cruz sin saber muy bien por qué. Por ejemplo:
“Si ir al cine con 3 amigos cuesta un total de 18€, ¿cuánto les costará ir al cine con 7 amigos?”
Simplemente lo resolveríamos con la ecuación 3•k = 7•18 y resultaría que k = 42€. Si bien el resultado es correcto, se perdió una gran oportunidad didáctica para trabajar y comprender el concepto de proporcionalidad directa (y probablemente los estudiantes aplicaron mecánicamente el producto cruz, sin entender la base didáctica en la que se basa).
Entonces uno podría preguntarse: ¿qué pasa si modifica la declaración para calcular el valor de la entrada y obtener un resultado a partir de estos nuevos datos?
Sabiendo cuánto cuesta la entrada, podríamos deducir directamente cuánto cuesta el cine para 7 amigos (técnica conocida como “reducción a la unidad”) y entonces el problema podría plantearse de la siguiente manera:
“Si llevar a 3 amigos al cine cuesta un total de 18€, calcula el precio de la entrada para saber cuánto cuesta llevar a 7 amigos al cine. Resuelve el problema sin crear un producto cruzado.”
De esta forma, es fácil concluir que si 3 entradas cuestan 18€, 1 entrada cuesta 6€, por lo que 7 entradas costarán 42€. En segundo plano, trabajamos con una función lineal (o proporcionalidad directa) del tipo i = 6•k, donde “i” es el coste total y “k” representa el número de amigos.
Solución anterior
Como solucionadores de problemas, a menudo no cuestionamos datos ni preguntas, simplemente buscamos una solución. Sin embargo, como formuladores de problemas, la forma en que pensamos acerca de los datos cambia: debemos analizar la relevancia de la información y las preguntas dadas.
En el ejemplo anterior vimos que el precio de entrada (6€) simboliza la pendiente de la recta “m” de tipo i = m•k. Ahora imaginemos que compramos entradas online y hay una tarifa fija de gestión de 2€ (independientemente del número de entradas). La formulación del problema cambiaría entonces, ya que al coste total siempre habría que añadir 2 euros, pasando entonces a una función afín del tipo i = m•k + n, donde “n” simbolizaría el coste de gestión.
La clave para formular el nuevo problema sería que al precio total habría que sumarle 2 euros (antes 18 euros) y tendríamos que indicar que siempre hay que sumar 2 euros, independientemente del número de entradas adquiridas. ¿Qué pasa si reformulamos el problema inicial de la siguiente manera?:
“Comprar entradas online para ir al cine tiene un coste administrativo fijo de 2€. Si 3 amigos cuestan 20€ por estas entradas, ¿cuánto costarán 7 amigos?”
Construcción de una ecuación afín, a partir de un ejemplo contextualizado en el precio de las entradas de cine.
Hay un sinfín de problemas por inventar, y pueden presentar diferentes formas de resolverlos e incluso diferentes soluciones posibles.
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